September 15, 2013

Στροφορμή που κυνηγά ροπή!


Από μικρή ηλικία ήμουν καταγοητευμένος με τις εκπληκτικές ιδιότητες των γυροσκοπίων. Ομολογώ ότι ακόμη και τώρα με συναρπάζουν, παρά το ότι τα απομυθοποίησα στα 19 μου χρόνια. Η κατανόηση της λειτουργίας τους όχι μόνο ΔΕΝ αφαιρεί τίποτε από την ομορφιά τους, αλλά αντίθετα ... προσθέτει στη μαγεία τους !



Τα δύο θεαματικά videο που παρουσιάζω, αναδεικνύουν ορισμένες μη διαισθητικές συνέπειες της στροφορμής.



Ευτυχώς, η μη διαισθητική πλευρά των γυροσκοπίων εξηγείται απλά με την βοήθεια των διανυσμάτων. Όσοι δεν είναι .. επιρρεπείς σε Μαθηματικά και Φυσική, ας αγνοήσουν ότι ακολουθεί, κι΄ ας επικεντρωθούν ΜΟΝΟ στην ομορφιά, που πάντα είναι το ζητούμενο!

Η στροφορμή L είναι διάνυσμα και συνεπώς έχει διεύθυνση και μέγεθος. Το ίδιο ισχύει και για την γωνιακή ταχύτητα ω. Το προηγούμενο σχήμα δείχνει τον κανόνα του δεξιού χεριού, που καθορίζει ότι τα διανύσματα L και ω είναι κάθετα στο επίπεδο περιστροφής. Επειδή η στροφορμή σχετίζεται με την  γωνιακή ταχύτητα μέσω της σχέσης L = I ω (όπου Ι είναι μία σταθερά, η ροπή αδρανείας) είναι προφανές ότι L και ω έχουν την ίδια κατεύθυνση. Παρατηρείστε ότι και τα δύο διανύσματα "δείχνουν" κατά μήκος του άξονα περιστροφής.

Είναι γνωστό ότι η μεταβολή της στροφορμής ΔL συνδέεται με την ροπή τ ως εξής: ΔL =  τ Δt

H τελευταία εξίσωση σημαίνει ότι η μεταβολή της στροφορμής ΔL έχει την ίδια κατεύθυνση με την ροπή τ, η οποία δημιουργεί την ΔL (μου αρέσει να θεωρώ ότι το διάνυσμα ΔL είναι μία πολλαπλάσια εκδοχή του διανύσματος  τ κατά Δt φορές!)   

Έστω ότι ένας τροχός ποδηλάτου με 2 χειρολαβές περιστρέφεται έτσι ώστε η στροφορμή του να "δείχνει" προς τα αριστερά της γυναίκας. Ας υποθέσουμε ότι η γυναίκα προσπαθεί να γυρίσει τον τροχό με τα χέρια της, ασκώντας το ζεύγος δυνάμεων F, όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα. Η φυσιολογική προσδοκία είναι ότι ο τροχός θα περιστραφεί προς την κατεύθυνση που τον σπρώχνει, όμως αυτό που τελικά συμβαίνει είναι εντελώς διαφορετικό!

Αυτό που συμβαίνει είναι το εξής.Το ζεύγος δυνάμεων F δημιουργεί μία ροπή τ με κατεύθυνση προς την γυναίκα. Αυτή η ροπή τ δημιουργεί μία μεταβολή στη στροφορμή, ΔL,  σην ίδια κατεύθυνση και κάθετα προς την αρχική στροφορμή L, αλλάζοντας έτσι την κατεύθυνση της L, αλλά όχι το μέγεθoς του νέου διανύσματος L + ΔL.

Στο σχήμα φαίνεται η διανυσματική πρόσθεση των L και ΔL, που δίνουν την καινούργια στροφορμή, L + ΔL, με κατεύθυνση που τείνει περισσότερο προς τη γυναίκα απ' ότι προηγουμένως. Συνεπώς ο άξονας του τροχού κινείται κάθετα προς τις ασκούμενες δυνάμεις F, με γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης ωp, αντί να περιστραφεί προς την αναμενόμενη κατεύθυνση, που προσπαθεί να τον περιστρέψει η .. δόλια γυναίκα !

Η ίδια ακριβώς λογική εξηγεί την συμπεριφορά των κλασσικών γυροσκοπίων. Στο προηγούμενο σχήμα φαίνονται οι δύο δυνάμεις w, που επενεργούν σε ένα περιστρεφόμενο γυροσκόπιο. Η ροπή τ που δημιουργούν, είναι κάθετη στη στροφορμή L, και συνεπώς η κατεύθυνσή της αλλάζει, αλλά όχι το μέγεθος. Το γυροσκόπιο υφίσταται μετάπτωση ωp γύρω από τον κάθετο κεντρικό άξονα, αφού η ροπή τ είναι πάντα οριζόντια και κάθετη στο L

Ο πλανήτης μας δρα ως ένα γιγαντιαίο γυροσκόπιο. Το διάνυσμα της στροφορμής είναι κατά μήκος του γήϊνου άξονα, και προς το παρόν "δείχνει" προς τον πολικό αστέρα. Όμως η γη υφίσταται μία πολύ αργή μετάπτωση, η οποία έχει περίοδο περίπου 26 000 χρόνια, λόγω της συνδυασμένης ροπής που ασκούν Ήλιος και Σελήνη στο μη σφαιρικό σχήμα της.


1 comment:

~reflection~ said...

"στην ομορφιά, που πάντα είναι το ζητούμενο!"

Όσο εμβαθύνει ο Νους, διευρύνεται η έννοια της Ομορφιάς...